FUNCIONES , Y FUNCIONES ORIENTADAS DESDE LAS MATEMÁTICAS DISCRETAS
Functions and functions oriented from discrete mathematics
RESUMEN
En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana,o en la finalidad de adquirir conocimientos sólidos sobre las funciones, y los tipos de funciones existentes, tales como, la función inyectiva, biyectiva, entre otros, así como también, la clasificación de las funciones, la cual está dividida en algebraica y trascendentes.
PALABRAS CLAVES: funciones, matemáticas, matemáticas discretas.
ABSTRACT
In this paper, the characteristics of the different mathematical functions and applications on various science and everyday life, on the purpose of acquiring a sound knowledge of the functions and the types of functions, such as injective function is detailed , bijective, among others, as well as the classification of functions, which is divided into algebraic and transcendental.
KEYWORDS: functions, mathematics, discrete mathematics,
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DANIEL VASQUEZ ALVAREZ
Estudiante de Ingeniería de Sistemas y Computación
Universidad Tecnologica de Pereira
SANTIAGO OSORIO
PULGARIN
Estudiante de Ingeniería de Sistemas y Computación
Universidad Tecnologica de Pereira
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- INTRODUCCIÓN
En matemáticas la función se usa para indicar una relación o correspondencia.muchas veces el ser humano hace uso de las funciones aun cuando ni se da cuenta.las funciones son de gran utilidad para resolver problemas de finanzas, economía, geología, y de cualquier área que haya que relacionar variables.
Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que más nos interesan dentro del cálculo son las funciones.Esta clasificación obedece a la forma en que están relacionados los elementos del dominio con los del recorrido. Conviene utilizar la notación: f | Df → Cf “función que mapea al dominio Df en el recorrido Cf”
1.1 QUÉ SON LAS FUNCIONES
Las funciones son un tipo especial de relaciones binarias. Una función puede tomarse como una relación de entrada-salida; es decir, para cada entrada o argumento, una función produce una salida o valor. Las funciones son la base de muchas de las más poderosas herramientas matemáticas, y muchos de nuestros conocimientos en informática pueden ser codificados convenientemente describiendo las propiedades de cierto tipo de funciones. En esta lección definiremos las funciones en general y varios casos particulares. La notación y terminologıa que utilizamos se usa ampliamente en matematicas e informatica. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
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Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
→ El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
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2. HISTORIA DE LAS FUNCIONES
Lo más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia. En las matemáticas babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función . En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones unitarias para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva. En la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en un sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo de fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto (y moderno) de función
Detalle del papito de ahmes
La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323- 1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano, en la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinan dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado.
Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación
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entre variables. Entre las funciones que estudió Galileo destacan, por sus sorprendentes consecuencias:
La función uno-a-uno 2 n → n entre los naturales y sus cuadrados, que demuestra que hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Las funciones ( ) f C C f ( ) B B f C C f A A → = ′ → = ′ − −1 2 1 1 1 2 : / : / que prueban que dos circunferencias, una con doble radio que la otra, tienen el mismo número de puntos
A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Pero no fue hasta 1748 cuando concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos, publicó un libro, Introducción al análisis infinito, en el definió función como:Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes
Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en 1755, tuvo que precisar su definición: Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo poco a poco el concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat dio en 1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)
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3 USO DE LAS FUNCIONES
Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios
Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.
recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)
Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos:
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Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos
En cualquier área de las ciencias, existen leyes en las que se relacionan distintas magnitudes, temperatura-presión, masa-velocidad, intensidad del sonido-distancia, etc. Es decir, a partir de los valores de algunas magnitudes se obtienen los valores de otras de forma directa a través de fórmulas ya demostradas.
Un punto de origen del concepto de función nace precisamente de las relaciones que mantienen diferentes magnitudes, así pues la función se puede representar algebraicamente o de forma gráfica en la que se relacionan varias magnitudes entre sí. Mediante la representación gráfica de estas relaciones entre diferentes magnitudes, se pudo dar de forma visual esa relación e interpretarla de forma rápida y sencilla.
Una forma de representación es la que se hace mediante ejes cartesianos, en la que se la función se representa de forma general por la relación numérica de magnitudes en una gráfica.
Así pues, la función la podemos representar tanto gráficamente como mediante una expresión algebraica o fórmula. Euler fue el primero en emplear la expresión f(x) para representar una función f asociada a un valor x. Es decir, con esta representación que es empleada hoy, se comienza la utilización del concepto de función tal y como hoy se entiende.
Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.
Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)
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4 FUNCIONES ORIENTADAS A LA MATEMÁTICA DISCRETA
Tipo de Funciones
Los tipos de funciones son:
1.Función Inyectiva
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho de otra forma: f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [a1 6= a2 =⇒ f(a1) 6= f(a2)] La “mejor forma” de probar en la pr´actica la inyectividad de una función es utilizar la contrarrecıproca, es decir, f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [f(a1) = f(a2) =⇒ a1 = a2]
3. Función Biyectiva
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.
4.1 Función Inversa
Dada una función f entre los conjuntos A y B, consideremos su relación inversa, es decir aquella que se obtiene intercambiando cada uno de los pares que componen la relación.
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
Se debe distinguir entre la función inversa, f−1(x),
Y sobre la inversa de una función,
 . Dominio de la composición de funciones
D(g o f) = {x ∈ Df / f(x) ∈ Dg}
Propiedades de la composición de funciones
1. Asociativa:
f o (g o h) = (f o g) o h
2. No es conmutativa:
f o g ≠ g o f
3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.
f o i = i o f = f.
5 BIBLIOGRAFÍA
1 Apuntes de la Universidad de Cadiz http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion9.pdf
1.1 Apuntes de la Universidad del Valle
2. Relaciones y funciones https://prezi.com/1mhnhpqzplkh/relaciones-funciones-grafos-y-arboles-en-matematicas-discretas/
Carl B. Boyer. Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos, 1992
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2. Función Suprayectiva o Sobreyectiva
Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir, f :A −→ B es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a) = b En otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img (f) = B
4 . Composición y Tipos de Funciones
Dadas las funciones f :A −→ B y g :B −→ C, se verifica: (i) Si f y g son inyectivas, entonces la composición de ambas es inyectiva.
(ii) Si f y g son sobreyectivas, entonces la composición de ambas es sobreyectiva.
(iii) Si f y g son biyectivas, entonces la composición de ambas es biyectiva.
(iv) Si la composición de dos funciones es inyectiva, entonces la primera de ellas es inyectiva.
(v) Si la composición de dos funciones es sobreyectiva, entonces la segunda de ellas es sobreyectiva.
(vi) Si la composición de dos funciones es inyectiva y la primera de ellas es sobreyectiva, entonces la segunda es inyectiva.
(vii) Si la composición de dos funciones es sobreyectiva y la segunda de ellas es inyectiva, entonces la primera es sobreyectiva.
4.1.1 Composición de Funciones e Inversa de una Función
La función f es invertible si, y solo si existe una función g de B en A tal que g ◦ f = iA f ◦ g = iB, donde iA y iB son las identidades en A y B, respectivamente.
Ejemplo:
f es invertible ⇐⇒ ∃g :B −→ A tal que
g ◦ f = iA f ◦ g = iB
=⇒) Supongamos que f es una función invertible y sea
f −1 su función inversa. Tomando g = f −1 y teniendo en cuenta la definición de inversa:
tendremos g :B −→ A tal que g(b) = a ⇐⇒ b = f(a), ∀b ∈ B
Pues bien, f :A −→ B
g :B −→ A ) =⇒ g ◦ f :A −→ A
y si a ∈ ,
tenemos (g ◦ f)(a) = g [f(a)] = g(b) = a = iA(a)
Es decir:
g ◦ f = iA donde iA :A −→ A tal que iA(a) = a, ∀a ∈ A
Es decir,
iA es la identidad en A.
Analogamente, g :B −→ A
f :A −→ B )
=⇒ f ◦ g :B −→ B y si b ∈ B.
Tendremos que:
(f ◦ g)(b) = f [g(b)] = f(a) = b = iB(b)
por tanto, g ◦ f = iB donde, iB :B −→ B tal que iB(b) = b, ∀b ∈ B o sea, iB es la identidad en B.
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
Morris Kline. Matemáticas. La pérdida de la
certidumbre. Siglo XXI editores, 1985
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html
The funcion concept. J.J. O'Connor, E.F. Robertson
MacTutor History of Mathematics. University of St. Andrews, Scotland
http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/imagenes/detalle_rhind02.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a2/Oresme-Nicole.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg
http://www.csi-csif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/SERGIO_BALLESTER
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